Probabilités - Complémentaire

Loi binomiale

Exercice 1 : Loi binomiale - Trouver les paramètres en lecture d'énoncé (difficile)

Un groupe de musique désire mesurer sa popularité auprès du public. Ses membres ont remarqué qu'en moyenne, après des concerts de 45 personnes, 10 personnes les ont suivi sur les réseaux sociaux et 18 ont laissé un commentaire sur le profil du groupe. Leur prochain concert dans la ville voisine approche et ses 93 spectateurs également ! Ils souhaitent estimer leur futur succès. Ils cherchent ainsi à calculer la probabilité que plus de 38 personnes les suivent sur les réseaux sociaux après leur concert et modélisent pour cela la situation par une loi binomiale.

Que vaut le paramètre \(n\) de la loi binomiale ainsi modélisée ?

De même, que vaut son paramètre \(p\) ?

Exercice 2 : Arbre de probabilités, Tableau et espérance (exercice long)

On s’intéresse à la population masculine d' Iran. Nous savons qu'en 2010 il y avait \(37\:541\:222\) hommes et \(36\:432\:408\) femmes.
On sélectionne au hasard \(3\) personnes de ce pays, avec remise et de manière indépendante.
À chaque tirage, on regarde si la personne est un homme ou une femme.

On peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p\), avec \(S\) le succès, c'est-à-dire que la personne tirée soit un homme, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire que la personne tirée ne soit pas un homme.

Calculer le paramètre \(p\) de la loi, la probabilité \(p(S)\) de succès de l'événement \(S\) « la personne tirée est un homme »
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p\). Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi.
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

Compléter le tableau de la loi de probabilité correspondante au nombre de fois où un homme a été tiré.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

En déduire l'espérance de cette loi.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

Exercice 3 : Loi binomiale : déterminer a et b tels que P(a <= X <= b) >= 0.95

Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \( n = 90 \) et \( p = 0,32 \).

Déterminer deux nombres entiers \( a \) et \( b \) tels que \( P(a \leq X \leq b) \geq 0,99 \) avec \( b - a \) le plus petit possible.
On donnera la réponse sous la forme d'un couple \( (a ; b) \), par exemple : \( ( 5 ; 2 ) \)

Exercice 4 : Probabilité de loi binomiale - lecture énoncé (formule factorielles)

Soit une urne contenant \(4\) boules rouges et \(6\) boules bleues. On effectue \(8\) tirages successifs avec remise dans cette urne.

Quelle est la probabilité de tirer exactement \(4\) boules rouges ?
Donner le résultat sous la forme d'une fraction ou d'un produit de fractions

Exercice 5 : Loi binomiale - construction d'arbre et coefficient binomial

Un professeur décide de noter le retard de chacun de ses élèves. Un an plus tard, il a établi qu'un jour donné, un élève a pour probabilité \(p = 0,5\) d'arriver en retard. Le professeur choisit un élève au hasard et regarde s'il arrive en retard pendant les 4 prochains jours à venir. On peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p\), avec \(S\) le succès, c'est-à-dire que l'élève arrive en retard, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire que l'élève arrive à l'heure. On peut donc affirmer que le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres \( n = 4 \) et \( p = 0,5 \).Dessiner l'arbre de probabilité représentant cette loi.

En comptant les branches de l'arbre, en déduire le coefficient binomial \( \binom{4}{3} \).

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